A frog is sitting at vertex A of a square ABCD. It starts jumping to either of the immediately adjacent vertices in random fashion and stops when it reaches vertex C. In how many ways can it reach vertex C if it makes exactly 7 jumps?

একটি বর্গক্ষেত্র \(ABCD\)-এর ক্ষেত্রে, প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে তার পাশাপাশি দুটি বিন্দুতে যাওয়া যায়।

এখানে বিন্দুগুলোর মধ্যকার সম্পর্ক লক্ষ্য করি:

  
• \(A\) বিন্দু থেকে যাওয়া যায়: \(B\) অথবা \(D\) বিন্দুতে।
  
• \(B\) এবং \(D\) বিন্দু থেকে যাওয়া যায়: \(A\) অথবা \(C\) বিন্দুতে।

লাফের সংখ্যা অনুযায়ী ব্যাংটির সম্ভাব্য অবস্থানগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

প্রারম্ভিক অবস্থান (০তম লাফ): \(A\) বিন্দুতে

১ম লাফ: \(B\) অথবা \(D\) বিন্দুতে

২য় লাফ: \(A\) অথবা \(C\) বিন্দুতে (এখানে \(C\)-তে পৌঁছালে খেলা শেষ)

৩য় লাফ: \(B\) অথবা \(D\) বিন্দুতে

৪র্থ লাফ: \(A\) অথবা \(C\) বিন্দুতে

৫ম লাফ: \(B\) অথবা \(D\) বিন্দুতে

৬ষ্ঠ লাফ: \(A\) অথবা \(C\) বিন্দুতে

৭ম লাফ: \(B\) অথবা \(D\) বিন্দুতে

লক্ষ করুন, প্রতিটি বিজোড় সংখ্যক লাফে (১ম, ৩য়, ৫ম, ৭ম) ব্যাংটি কেবল \(B\) অথবা \(D\) বিন্দুতে থাকতে পারে।

অপরদিকে, \(C\) বিন্দুতে পৌঁছাতে হলে সর্বদাই জোড় সংখ্যক লাফের (যেমন: ২, ৪, ৬, ৮টি ইত্যাদি) প্রয়োজন।

যেহেতু \(7\) একটি বিজোড় সংখ্যা, তাই ঠিক ৭টি লাফে ব্যাংটির পক্ষে \(C\) বিন্দুতে পৌঁছানো অসম্ভব।

সুতরাং, ৭টি লাফে \(C\) বিন্দুতে পৌঁছানোর উপায়ের সংখ্যা \(0\)।